韦达定理公式
一元二次方程根与系数的关系
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公式展示
x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a
ax²+bx+c=0的两根
字母含义
字母
含义
a, b, c
方程ax²+bx+c=0的系数
x₁, x₂
方程的两个根
公式详解
韦达定理由法国数学家韦达发现，描述了一元二次方程根与系数的关系，无需解方程即可求根的和与积。
和
：x₁+x₂=-b/a
积
：x₁·x₂=c/a
判别式
：Δ=b²-4ac≥0时有实根
推广到n次方程
：所有根的和=-aₙ₋₁/aₙ，所有根的积=(-1)ⁿa₀/aₙ
常见变形
：x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂，1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/(x₁x₂)
典型例题
例1：直接应用
方程x²-5x+6=0，求两根之和与积。
x₁+x₂=5，x₁x₂=6(根为2和3)
例2：求变形
方程x²-3x+1=0，求x₁²+x₂²。
x₁+x₂=3，x₁x₂=1，x₁²+x₂²=9-2=7
例3：已知和积求方程
两根之和为4，积为3，求方程。
x²-4x+3=0
常见误区与注意事项
注意符号
x₁+x₂=-b/a，有负号；x₁x₂=c/a，无负号。
前提是有实根
Δ≥0时才有实根，韦达定理对复根也成立。
a不能为0
a=0时不是二次方程，韦达定理不适用。
常见问题
韦达定理有什么用？
不解方程即可求根的和与积，常用于求对称式的值、构造方程等。
韦达定理只适用于二次方程吗？
可推广到任意次多项式方程。
x₁²+x₂²怎么用韦达定理求？
x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂，代入韦达定理结果即可。
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